本文首先介绍了从傅里叶变换到小波变换的发展史，然后侧重强调了小波变换的两种作用——时频分析和多分辨率分析，最后讲了1下吉布斯效应等相干知识。

小波的发展历史与驱动

傅里叶变换

FT（傅里叶变换），通过将信号分解成正余弦函数（把3角函数当作函数空间的基），将时域信号转化为频域信号。缺点是只适用于安稳性信号，在频域图上不能取得对应频率的时间信息。

由上图可以看到，对频域成份相同的信号，即便信号在时域上的散布不1样，FFT变换后的频域图却几近完全1样。所以说，FFT只可以取得1段信号整体上包括哪些成份，但是对各成份出现的时间并没有所知。因此时域相差很大的信号FFT以后的频域图可能完全相同。

短时傅里叶变换

STFT（短时傅里叶变换）添加时域信息的方法是设置窗格，认为窗格内的信号是安稳信号，对窗格内的信号分段进行FT分析。优点是可以取得频域信息的同时可以取得时域信息。缺点是窗格大小很难设置。

STFT的方法及效果以下图：

STFT的窗格问题以下：

由上面的图可以看到，窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低；宽窗口时间分辨率低，频率分辨率高。对时变的非稳态信号，高频合适小窗口，低频合适大窗口。可是STFT的窗口是固定的，因此需要寻求别的方法。

小波变换

WT（小波变换），将傅里叶变换的基给换了—— 将无穷长的3角函数基换成了有限长的会衰减的小波基，这样不但可以获得频率，还可以定位到时间。

傅里叶变换

傅里叶变换，通过相互正交的3角函数信号和原信号在无穷上进行积分，积分越大表明信号越类似，包括该频率的3角信号也就越多。

最后，每个f值对应了1个积分值，取得了频率图。

小波变换

小波变换的原理类似傅里叶变换，只是把3角函数基换成了小波基。

与傅里叶变换不同，小波变换有两个变量：scale和translation。scale控制小波函数的收缩，其导数即为频率，translation控制小标函数的平移，平移量对应时间。

通过信号的伸缩平移，可以得到某种重合情况，这样积分也会得到1个极大值，不同的是，得到频率成份的同时，还可以知道该频率的时间位置。

最后得到的也是3维的图象：

3种变换的对照

傅里叶变换，选择正弦函数作为基函数，然后考察的到的展开式的性质。
对小波分析，首先提出想要的性质，然后推导出基函数。

小波变换

离散小波变换

连续小波变换

小波的多分辨率论述

小波的1个思想是在时间和频率两个方面提供有效的局部化，另外一个中心思想是多分辨率，即信号的分解是依照不同分辨率的细节1层1层进行的。

信号空间

L2(R)平方可积空间，如果函数g(t)是这个空间的元素，那末g(t)∈L2。

尺度函数

对2维函数族（构成空间的基底）：

对所有k∈Z，可以张成空间：

如果f(t)∈Vj，那末f(t)可以表示为：

也就是说，f(t)可以通过Vj空间的1组基底表示出来，并且这个基底是可以设置的。j越大，分辨率越高。

多分辨率分析

低分辨率上的信号，不但可以通过该低分辨率上的信号基底组合，还可以通太高分辨率上信号的基底组合起来。

尺度函数φj,k(t)张成了V空间，不同V空间的差空间W由小波函数ψj,k(t